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En este post vamos a contar un poco sobre cómo son las clases de matemática CBC que ofrecemos. Y también hacia el final publicamos parciales resueltos de matemática CBC. Que pueden ser muy útiles para cualquiera cursando la materia.

Si te interesan las clases y necesitás una ayuda más personalizada hacé click en el siguiente botón y contactanos:

 

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O seguí leyendo para saber más sobre las clases de matemática en CBC que ofrecemos: en que zonas, niveles, etc.

Problemas con Matemática CBC

Matemática 51 es una materia básica que está en casi todas las carreras de la UBA. (Con muy pocas excepciones: por ejemplo en exactas no tienen matemática pero tienen análisis y álgebra. O en económicas tampoco la tienen…). Pero la enorme mayoría que estudia en UBA tiene que pasar por esta materia.

Algunos que se llevan mejor con la matemática, o que han tenido una buena base en la escuela secundaria pueden aprobar esta materia sin ayuda adicional.

Pero hay muchos que no. De hecho la mayoría de los alumnos que cursa esta materia no logra aprobarla. Ya sea porque no tuvieron una buena base de matemática en la escuela, o por el motivo que sea….

Para quienes no pueden sólos es posible que lo más conveniente sea aprovechar una ayuda extra para finalmente tachar de la lista Matemática 51.

Es mucho mejor invertir un poco en una ayuda específica ya sea un libro, programa o clases particulares, que tener que volver a cursarla y perder tanto tiempo (pensá en el valor que tiene retrasar medio añó tu avance en la carrera).

Más abajo ofrecemos parciales y finales resueltos. Pero para quien necesite una ayuda más personal les cocmentamos sobre las clases de matemática CBC que ofrecemos.

Si te interesa ir directamente a los parciales resueltos de matemática cbc hacé clcick acá (o scrollea hacia abajo!).

A continuación algunas características de las clases de matemática CBC que damos nostoros. Si tenés alguna duda escribinos haciendo click acá y charlamos:

Clases de matemática CBC: ¿Individuales o grupales?

  • Nosotros ofrecemos clases individuales. Aunque podemos organizar un pequeño grupo preferimos optimizar la productividad. En cualquier caso escribinos para consultar.

Clases de matemática CBC : ¿En que zonas dan las clases?

  • Damos clases de matemática CBC en muchas zonas: somos una red de profes. Así que allí dónde alguno de nosotros esté… podemos ayudarte. Cómo es muy amplio consultanos a ver si podemos ayudarte. Pero probablemente podemas ayudarte ya sea que hagas matemática cbc en ciudad universitaria o en alguna otra sede. En capital seguro, y en San Isidro también. Ante la duda consultanos.
  • Online también: ¿no querés viajar ni 15 minutos y preferís tomar clases vía skype con pizzarra digital y que te enviemos todo por ahí? Perfecto. Ya vamos a agregar un video para que veas cómo podrían ser las clases de matematíca CBC en forma online.

Clases de matemática CBC : Niveles

Son para todos los niveles: si no entendés siquiera cómo resolver las operaciones combinadas del principio, ni la propiedad distributiva… te podemos ayudar. Si ya viste todos los temas en la secundaria pero necesitas super seguridad de que te va a ir perfecto… también podemos ayudarte. Al ser individuales, podemos personalizarlo a tu situación.

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Matemática CBC: Programa de contenidos

Antes de pasar a los parciales resueltos de matemática CBC recordamos acá cuál es el programa de la materia:

UNIDAD 1

Números Reales y Coordenadas Cartesianas
Representación de los números reales en una recta. Intervalos de
Distancia en la recta real.
Representación de puntos en el plano.
Distancia entre dos puntos del plano.

UNIDAD 2

Funciones polinómicas
Definición y ejemplos. Dominio e imagen. Representación gráfica.
Ceros de una función. Conjuntos de positividad y de negatividad. Crecimiento y decrecimiento. Extremos locales.
Función lineal. Gráfico de una función lineal. Rectas en el plano. Pendiente. Intersección de rectas.
Funciones cuadráticas. Gráfico. Determinación de ceros. Imagen de una función cuadrática. Vértice y eje de simetría de una parábola. Intersección entre rectas y parábolas. Problemas de aplicación.
Funciones polinómicas. Ceros. Factorización. Noción de continuidad. Teorema de Bolzano para funciones continuas. Determinación de intervalos de positividad y de negatividad de funciones polinómicas.

UNIDAD 3

Funciones racionales
Funciones homográficas. Noción de límite en el infinito y de límites infinitos. Asíntotas horizontales y verticales de funciones racionales.
Composición de funciones. Funciones inversas. Dominio y gráfico. Ejemplos.

UNIDAD 4

Funciones trigonométricas y exponenciales
Definición de las funciones trigonométricas. Gráficos. Propiedades. Ceros, imagen, amplitud y período. Positividad y negatividad. Valores máximos y mínimos. Aplicaciones.
Funciones exponenciales y logarítmicas. Estudio de ambas funciones a través de sus gráficos. Dominio e imagen. Asíntotas. Aplicaciones al crecimiento de poblaciones.

UNIDAD 5

Derivadas
Cociente incremental. Definición de derivada. Interpretación geométrica y cinética. Recta tangente.
Reglas de derivación.
Aplicaciones a la construcción de curvas.

UNIDAD 6

Integración
Primitivas. Métodos de integración: integración por partes y sustitución. Cálculo de integrales definidas. Teorema fundamental del cálculo. Regla de Barrow.
Aplicación al cálculo de áreas y a problemas de mecánica.

Matemática CBC: Parciales resueltos [BONUS :)]

Ejercicio 1 – Sobre función lineal

Sea \(f\) la función lineal que satisface \(f\left( 3 \right) = 13\) y \(f\left( 0 \right) = 4\), y sean los puntos \(P = \left( {2,f\left( 2 \right)} \right)\) y \(Q = \left( { – 1,f\left( { – 1} \right)} \right)\). Hallar la distancia ente P y Q.

Resolución

Cómo \(f\left( 3 \right) = 13\) entonces el punto \(\left( {3,13} \right)\) pertenece a la gráfica de \(f\).

Cómo \(f\left( 0 \right) = 4\) entonces el punto \(\left( {0,4} \right)\) pertenece a la gráfica de \(f\).

Veamos esto en un gráfico:

http://clasesdelnorte.com.ar/wp-content/uploads/2017/10/matematica-cbc-ejercicio-1-resuelto.png

 

Cómo el gráfico nos ayuda a ver… si calculamos la diferencia en las coordenadas \(y\) de los puntos (\(13 – 4\)), y la dividimos por la diferencia en las coordenadas \(x\) de los puntos \(\left( {3 – 0} \right)\), tenemos la pendiente de la recta:

\[m = \frac{{13 – 4}}{{3 – 0}} = \frac{9}{3} = 3\]

En la materia se explica que dados dos puntos \({P_1} = \left( {{x_1},{y_1}} \right)\)  y \({P_2} = \left( {{x_2},{y_2}} \right)\) de una recta \(r\), la pendiente \(m\) se calcula:

\[m = \frac{{{y_2} – {y_1}}}{{{x_2} – {x_1}}}\]

Que es lo que acabamos de realizar.

La ordenada al origen o intersección con el eje y es en \(y = 4\).

Entonces la ecuación de la recta es:

\[f\left( x \right) = 3x + 4\]

Ahora para averiguar \(f\left( 2 \right)\) y \(f\left( { – 1} \right)\) simplemente reemplazamos en la ecuación de la recta:

\[f\left( 2 \right) = 3.2 + 4 = 10\]

\[f\left( { – 1} \right) = 3.\left( { – 1} \right) + 4 = 1\]

Entonces los puntos P y Q son:

\[P = \left( {2,f\left( 2 \right)} \right) = \left( {2,10} \right)\]

\[Q = \left( { – 1,f\left( { – 1} \right)} \right) = \left( { – 1,1} \right)\]

Para calcular la distancia entre P y Q tenemos que notar que se arma un triangulo rectángulo cómo el de la figura:

Clases de Matemática CBC

Restando las coordenadas de x y de y podemos averiguar los catetos del triángulo rectángulo que son 9 y 3:

\[10 – 1 = 9\]

\[2 – \left( { – 1} \right) = 3\]

Ahora ya podemos aplicar el teorema de Pitágoras (\({H^2} = C_1^2 + C_2^2\))  para averiguar la distancia entre P y Q:

\[{\overline {PQ} ^2} = {9^2} + {3^2} = 27 + 9 = 36\]

Aplicamos raíz cuadrada a cada miembro para calcular \(\overline {PQ} \):

\[ \Rightarrow \overline {PQ}  = \sqrt {36}  = 6\]

 

Ejercicio 2 – Función cuadrática

Hallar la función cuadrática \(f\) que verifica \(f\left( 9 \right) = f\left( 5 \right) = 0\) y que tiene como imagen al intervalo \(\left( { – \infty ;6} \right]\).

Resolución

Recordemos que las ecuaciones de una cuadrática pueden ser:

\(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\;\)  [forma polinómica]

\(f\left( x \right) = a\left( {x – {x_1}} \right)\left( {x – {x_2}} \right)\) [forma factorizada]

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – {x_v}} \right)^2} + {y_v}\)  [forma canónica]

 

Cómo \(f\left( 9 \right) = f\left( 5 \right) = 0\) entonces conocemos dos raíces. Las raíces son esos valores que anulan a la función. Entonces usando la forma factorizada podemos reemplazar \({x_1}\) y \({x_2}\) por \(9\) y \(5\) respectivamente:

\[f\left( x \right) = a\left( {x – 9} \right)\left( {x – 5} \right)\]

 

Sólo resta averiguar el valor de \(a\).

Para eso recordemos que vértice de la gráfica es tal que su coordenada en x está justo en el punto medio entre las raíces:

\[{x_v} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = \frac{{5 + 9}}{2} = \frac{{14}}{2} = 7\]

Veamos esto en un gráfico:

Clases de Matemática CBC

Cómo la imagen es \(\left( { – \infty ;6} \right]\), y \({x_v} = 7\) entonces conocemos la imagen de \(7\):

\[f\left( 7 \right) = 6\]

Ahora podemos reemplazar a \(x = 7\), y a \(y = 6\) en la ecuación de la cuadrática, y despejar \(a\):

\[a\left( {7 – 9} \right)\left( {7 – 5} \right) = 6\]

\[a.2.\left( { – 2} \right) = 6\]

\[a =  – \frac{3}{2}\]

Entonces:

\[f\left( x \right) =  – \frac{3}{2}\left( {x – 5} \right)\left( {x – 9} \right)\]

 

Ejercicio 3 – Funciones homográficas

Sea \(f\left( x \right) = \frac{{\alpha x + 5}}{{4x – 3}}\). Hallar \(\alpha  \in \mathbb{R}\) para que la recta de ecuación \(y = 3\) sea asíntota horizontal para \(f\). Dar la ecuación de la asíntota vertical.

Resolución

Para una función homográfica la asíntota horizontal se obtiene dividiendo los coeficientes lineales de numerador y denominador:

\[f\left( x \right) = \frac{{ax + 5}}{{4x – 3}}\]

La explicación de esto se basa en que el límite con \(x\) tendiendo a infinito de esa función es \(\frac{a}{4}\).

Entonces igualamos \(\frac{a}{4}\) a 3:

\[3 = \frac{a}{4}\]

\[ \Rightarrow a = 12\]

La asíntota vertical es \(x = k\) dónde \(k\) es aquel valor que anula el denominador:

\[4x – 3 = 0\]

\[ \Rightarrow x = \frac{3}{4}\]

Entonces la ecuación de la asíntota vertical es \(x = \frac{3}{4}\).

 

Ejercicio 4 – Ecuaciones trigonométricas

Hallar los ceros de \(f\left( x \right) = {\rm{sen}}\left( {2x – \frac{\pi }{2}} \right)\) que pertenecen al intervalo \(\left[ {0,2\pi } \right]\)

Resolución

Primero igualemos \(f\left( x \right)\) a cero:

\[{\rm{sen}}\left( {2x – \frac{\pi }{2}} \right) = 0\]

Ahora pensemos cual debería ser el argumento \(2x – \frac{\pi }{2}\) para que el seno sea nulo.

Para poder entender esto es super recomendable pensar en la circunferencia trigonométrica:

 

Clases de Matemática CBC

El seno se anula en 0 grados, 180 grados, 360 grados, 540 grados… Puesto en forma general y en radianes:

\(\;\sin \left( \alpha  \right) = 0 \Leftrightarrow \alpha  = 0 + k\pi \;\;\;\;,\;\;\;k \in \mathbb{Z}\)

Lo cual significa que el seno de un ángulo es cero si el ángulo es 0 radianes más múltiplos de \(\pi \) radianes:

http://clasesdelnorte.com.ar/wp-content/uploads/2017/10/seno-y-coseno-animados-circunferencia-trigonometrica.gif

\[2x – \frac{\pi }{2} = k\pi \]

Despejemos \(x\):

\[ \Rightarrow 2x = k\pi  + \frac{\pi }{2}\]

\[ \Rightarrow 2x = \pi \left( {k + \frac{1}{2}} \right)\]

\[ \Rightarrow x = \frac{\pi }{2}\left( {k + \frac{1}{2}} \right)\]

Ahora recordemos que \(x \in \left[ {0,2\pi } \right]\).

Probamos con diferentes valores de \(k\) para ir descubriendo soluciones:

\[k =  – 1 \Rightarrow x =  – \frac{\pi }{4}\left[ {NO\;ES\;VÁLIDO} \right]\]

Notemos que \( – \frac{\pi }{4}\) no pertenece al intervalo.

\[k = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi }{4}\]

\[k = 1 \Rightarrow x = \frac{3}{4}\pi \]

\[k = 2 \Rightarrow x = \frac{5}{4}\pi \]

\[k = 3 \Rightarrow x = \frac{7}{4}\pi \]

\[k = 4 \Rightarrow x = \frac{9}{4}\pi \;\;\left[ {NO\;ES\;VÁLIDO} \right]\]

Notemos que \(\frac{9}{4}\pi \) ya no pertenece al intervalo.

Entonces el conjunto solución es:

\[S = \left\{ {\frac{\pi }{4},\frac{3}{4}\pi ,\frac{5}{4}\pi ,\frac{7}{4}\pi } \right\}\]

 

Veamos esto en un gráfico (aunque el ejercicio no lo pide puede ayudar):

 

Ojalá haya sido de utilidad la resolución de los ejercicios.

Podés contactarnos por las clases de matemática cbc con el siguiente botón:

 

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